第一讲找规律与定义新运算


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第一讲找规律与定义新运算(五年级下册 人教版)
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基础班
1、找规律 
(1)3,4,6,9,14,22,(   ),56……
(2)1,4,8,13,19,(   ),34,(    ),……
(3)2,3,5,7,11,13,(   ),19……
(4)1,2,2,4,8,32,(   )……
(5)6,7,3,0,3,3,6,9,5,(   ),(   )…… 
解:(1)35;(2)26,43;(3)17;(4)256;(5)4,9。
提示:(1)3+4-1=6;4+6-1=9;6+9-1=14;9+14-1=22,所以扩号中应该填14+22-1=35。(2)前两个数的差是
3,以后相邻两个数的差每次增大1,19+7=26,34+9=43。(3)连续质数数列。(4)从第3个数开始后一个数等于前两个数的乘积。(5)从第3个数开始,后一个数都是前两个数的和的个位数字。

2、有一列数3,1000,997,3,994,991,……从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差,那么在这列数中最小的数是几?它第一次出现时在这列数的第几个?
解:0。提示:每三个数中就有一个3,去掉3后剩余的数成递减的等差数列,公差为3;结合该数列的奇偶性,可续写:……,3,10,7,3,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,……因此出现的最小数是0,第一次出现是在第[(1000-1)÷3+1] ÷2×3+5=506个。

3、一串数排成一行:头两个数都是1,从第三个数起,每一个数都是前两个数的和,也就是:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...问:这串数的前100个数中(包括其100个数)有多少个偶数?
解:数列为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 3 6 9 ……从以上可以看出3,6,9,12......位上数是偶数,因为3,6,9,12......形成一个等差数列,所以前100位中的偶数数量(99-3)÷3+1=33个 或者:100中3的倍数:100/3=33……1,共33个。

4、定义A◎B表示A、B之间所有奇数的和,例如12◎7=9+11=20,计算(2◎10)◎19。
解:44。提示:2◎10=3+5+7+9=24,(2◎10)◎19=24◎19=21+23=44。

5、定义一种新运算:A○+B等于A,B之间的所有自然数的和(不包括A,B),例如:7○+2=2○+7=3+4+5+6=18。现在已知9○+C=21,那么C可能是_________。
解:12或5。提示:如果C大于9,则因为21=10+11,所以C=12;如果C比9小,则因为21=8+7+6,所以C=5。

提高班
1、找规律 
(1)3,4,6,9,14,22,(   ),56……
(2)1,4,8,13,19,(   ),34,(    ),……
(3)2,3,5,7,11,13,(   ),19……
(4)1,2,2,4,8,32,(   )……
(5)6,7,3,0,3,3,6,9,5,(   ),(   )…… 
解:(1)35;(2)26,43;(3)17;(4)256;(5)4,9。
提示:(1)3+4-1=6;4+6-1=9;6+9-1=14;9+14-1=22,所以扩号中应该填14+22-1=35。(2)前两
个数的差是3,以后相邻两个数的差每次增大1,19+7=26,34+9=43。(3)连续质数数列。
(4)从第3个数开始后一个数等于前两个数的乘积。(5)从第3个数开始,后一个数都是

前两个数的和的个位数字。

2、有一列数3,1000,997,3,994,991,……从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差,那么在这列数中最小的数是几?它第一次出现时在这列数的第几个?
解:0。提示:每三个数中就有一个3,去掉3后剩余的数成递减的等差数列,公差为3;结合该数列的奇偶性,可续写:……,3,10,7,3,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,……因此出现的最小数是0,第一次出现是在第[(1000-1)÷3+1] ÷2×3+5=506个。

3、一串数排成一行:头两个数都是1,从第三个数起,每一个数都是前两个数的和,也就是:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...问:这串数的前100个数中(包括其100个数)有多少个偶数?
解:数列为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 3 6 9 ……从以上可以看出3,6,9,12......位上数是偶数,因为3,6,9,12......形成一个等差数列,所以前100位中的偶数数量(99-3)÷3+1=33个 或者:100中3的倍数:100/3=33……1,共33个。

4、定义A◎B表示A、B之间所有奇数的和,例如12◎7=9+11=20,计算(2◎10)◎19。
解:44。提示:2◎10=3+5+7+9=24,(2◎10)◎19=24◎19=21+23=44。

5、定义一种新运算:A○+B等于A,B之间的所有自然数的和(不包括A,B),例如:7○+2=2○+7=3+4+5+6=18。现在已知9○+C=21,那么C可能是_________。
解:12或5。提示:如果C大于9,则因为21=10+11,所以C=12;如果C比9小,则因为21=8+7+6,所以C=5。
6、已知-串有规律的数:1, , , , ,… 那么,在这串数中,从左往右数,第10个数是         
解:每个分数的分子等于前-个分数的分母加分子;每个分数的分母等于分子加前-个分数的分母,所以第6、7、8、9、10个分数依次为 , , , , 。


精英班
1、找规律 
(1)3,4,6,9,14,22,(   ),56……
(2)1,4,8,13,19,(   ),34,(    ),……
(3)2,3,5,7,11,13,(   ),19……
(4)1,2,2,4,8,32,(   )……
(5)6,7,3,0,3,3,6,9,5,(   ),(   )…… 
解:(1)35;(2)26,43;(3)17;(4)256;(5)4,9。
提示:(1)3+4-1=6;4+6-1=9;6+9-1=14;9+14-1=22,所以扩号中应该填14+22-1=35。(2)前两个数的差是3,以后相邻两个数的差每次增大1,19+7=26,34+9=43。(3)连续质数数列。(4)从第3个数开始后一个数等于前两个数的乘积。(5)从第3个数开始,后一个数都是前两个数的和的个位数字。

2、有一列数3,1000,997,3,994,991,……从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差,那么在这列数中最小的数是几?它第一次出现时在这列数的第几个?
解:0。提示:每三个数中就有一个3,去掉3后剩余的数成递减的等差数列,公差为3;结合该数列的奇偶性,可续写:……,3,10,7,3,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,……因此出现的最小数
是0,第一次出现是在第[(1000-1)÷3+1] ÷2×3+5=506个。

3、一串数排成一行:头两个数都是1,从第三个数起,每一个数都是前两个数的和,也就是:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...问:这串数的前100个数中(包括其100个数)有多少个偶数?
解:数列为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 3 6 9 ……从以上可以看出3,6,9,12......位上数是偶数,因为3,6,9,12......形成一个等差数列,所以前100位中的偶数数量(99-3)÷3+1=33个 或者:100中3的倍数:100/3=33……1,共33个。

4、定义A◎B表示A、B之间所有奇数的和,例如12◎7=9+11=20,计算(2◎10)◎19。
解:44。提示:2◎10=3+5+7+9=24,(2◎10)◎19=24◎19=21+23=44。

5、定义一种新运算:A○+B等于A,B之间的所有自然数的和(不包括A,B),例如:7○+2=2○+7=3+4+5+6=18。现在已知9○+C=21,那么C可能是_________。
解:12或5。提示:如果C大于9,则因为21=10+11,所以C=12;如果C比9小,则因为21=8+7+6,所以C=5。

6、已知-串有规律的数:1, , , , ,….那么,在这串数中,从左往右数,第10个数是         
解:每个分数的分子等于前-个分数的分母加分子;每个分数的分母等于分子加前-个分数的分母,所以第6、7、8、9、10个分数依次为 , , , , 。

7、(第七届“华杯赛”复赛第9题)一列数,前三个是1,9,9,以后每个都是它前面相邻3个数的和除以3所得的余数,问这列数中的第1999个数是几?
解:直接计算,这个数列为1,9,9,1,1,2,1,1,1,0,2,0,2,1,0,0,1,1,2,…自第17项起,第4至第16项重复出现,而(1999—3)÷(16—4+1)=153……7,因此第1999个数即第10(=3+7)个数是0. 

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