容斥原理（二）

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试题预览 【例题分析】   例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？     分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。        （人）     答：只有两次达到优秀的有11人。   例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？     分析与解：根据题意画图。       方法一： （人）     方法二： （人）     答：共有10个小朋友去了冷饮店。   例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？     分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。        （人）     答：只参加跑和投掷两项的有3人。   例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。     分析与解：根据已知条件画出图。       三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y人，可以列出这样的方程：      整理后得：      由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。     答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。   例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？     分析与解：根据题意画图。       设三科都得满分者为x     全班人数      整理后：全班人数＝39＋x     39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值时，全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人数一定不超过两科得满分的人数，即 且 ，由此我们得到 。另一方面x最小可能是0，即没有三科都得满分的。     当x取最大值7时，全班有 人，当x取最小值0时，全班有 39人。     答：这个班最多有46人，最少有39人。 【模拟试题】（答题时间：30分钟）   1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有 的人订《少年报》，有 的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？   2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记表如下表（单位：平方米） 姓名 居室 门厅 厨房 厕所 总面积 小明 14 12 8 4 38 小龙 20 12 8 4 44     他们住的一套房子共有多少平方米？   3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。   4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？ 请做完之后再看答案！   【试题答案】   1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有 的人订《少年报》，有 的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？           答：两种刊物都订的有16人。   2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记表如下表（单位：平方米） 姓名 居室 门厅 厨房 厕所 总面积 小明 14 12 8 4 38 小龙 20 12 8 4 44     他们住的一套房子共有多少平方米？           答：这套房子共有58平方米。   3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。               4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？     设三年连续三好生人数为x人     全班人数      ……     全班人数      x最大是3，最小是0 所以这个班最多有 名同学，最少有 38名同学。  试题下载地址1    试题下载地址2   (提示：关键词之间用空格隔开)   (提示：关键词之间用空格隔开) 把本页分享到：QQ空间新浪微博微信 相关试题：人教课标版 五年级 下册 奥数试题 上一个『过桥问题（1）』  下一个『用列表法解应用题』

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