第十二届全国“华罗庚金杯”数学邀请赛决赛试卷(四年级组)


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第十二届全国“华罗庚金杯”数学邀请赛决赛试卷(四年级组)(四年级下册 人教课标版)
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(时间:2007年4月21日    10:00~11:30)
一、填空题(每秒题10分,共80分)
1、7×9×11×13×……×2009×2011积的个位数是              。
2、哈理波特有一本120页的魔法书,非常可惜被姨妈撕掉了一页,现在所剩的页码之和为7197。哈理波特的魔法书被撕掉的这一页的页码为           。
3、如图,不含▲的正方形有            个。
 
4、标有一号、二号、三号的三个盒子里面各有若干个黑色的小球,如果第一次从一号盒子里面拿20个小球放到二号盒子里面,第二次又从二号盒子里拿15个小球放到三号盒子里,最后再从三号盒子里拿出20个小球放到一号盒子里,这时三个盒子里面的小球都是60个。一号、二号、三号盒子里面原来各有小球           个。              
5、大、小两个杯子都未装满水,如果将小杯子的部分水倒入大杯子,并将大水杯倒满,则小杯子还剩水30克,如果将大杯子中的部分水倒入小水杯将其倒满,则大杯子还剩水90克,已知大杯子容积是小杯子的2倍,两杯子原来共装水         克。
6、A、B两地之间的道路分上坡和下坡两种路段,共70千米,兰兰上坡速度为5千米/时,下坡速度为7千米/时,去时用了10.5小时,则返回时用        
          小时。
7、三年级一班有学生42人,其中参加美术班的同学有39人,参加体操班的同学有34人,参加游泳班的同学有30人,参加奥数班的同学有37人。那么,这个班至少有         个学生这四种班都参加。
8、一个自然数n,各位数字之和是400,要使n最小,n应当是         位数,它的首位数字应当是             。

二、解答题(每题10分,共40分,要求写出解答过程)
9、清明节,三年一班与三年二班同学各排成一路纵队去扫幕,如果两路纵队同时同方向齐头行进,行6分钟后,一班队伍超过二班队伍。一班队伍每分钟行60米,二班队伍每分钟行50米。如果这两路纵队、队尾相齐同时同方向行进则5分钟后,一班队伍超过二班队伍,如果一、二两班队伍的前后两人都相距1米,求一、二两班各有多少人?





10、 宽18厘米,长未知的同样大小的长方形小纸片拼成如右图所示的图形,求阴影部分的面积。





11、果篮里有苹果、香蕉、梨、桔子、桃五种水果若干个,每个人可以从中任取两个,那么最少需要多少个人才能保证至少有2人选的水果是完全相同的?




12、蜘蛛有八只脚、蜻蜓有六只脚和两对翅膀,苍蝇有六只脚一对翅膀,现有三种昆虫共21只,共有146只脚和16对翅膀,则:蜘蛛、蜻蜓和苍蝇各有多少只? 



第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
决赛试题参考答案(四年级组)
一、填空(每题10分,共80分)

题号   1   2  3  4  5  6   7  8
答案  5 31、32   41 60、55、65   100        13.5  14  45.4
注:2题每空5分,4题前两空各3分,第三个空4分。

1—8题参考答案提示:
1、答:5。
   解:乘式中的乘数全部都是奇数,而且其中有个位数是5的乘数。因为奇数与奇数的积是奇数,奇数与5的积的个位数是5,所以整个乘式的积的个位数是5。
2、答:31和32。
  解:哈理波特的魔法书原来共有120页,原来的页码之和为:
1+2+3+…+120=(1+120)×120÷2=7260
被撕掉的这一页的两面页码之和为
7260-7197=63
因为:一页书上的页码是两个连续的整数,
所以:被撕掉的这一页书的页码是31和32。
3、 答:41
解:图中一共有正方形  5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=55(个)
    其中含“▲”的正方形共有 1+4+4+4+1=14(个)
    所以不含“▲”的正方形共有55-14=41(个)
4、 答:60、55、65
解:用倒推法,列表如下:
一号盒子 二号盒子 三号盒子
最  后 60 60 60
前一次 60-20=40 60 60+20=80
再前一次 40 60+15=75 80-15=65
原来 40+20=60 75-20=55 65
5、 答:100
解(1)如果从小杯倒入部分水将大杯倒满,则小杯还剩水30克,说明水的总量是大杯总容量加30克。
(2)如果大杯水倒出部分将小杯装满,则大杯还剩水60克,说明水的总量是小杯总容量加60克。
  由(1)、(2)两个条件我们可知:大杯总容量比小杯总容量多60-20=40(克),又因为大杯总容量是小杯的2倍,可知多的40克就是小杯子对应的1倍。
由此可得小杯的总容量是:60-20=40(克)
两水杯共有水:40+60=100(克)
6、 答:13.5
解:因为来回两次的上坡路和下坡路的总和相等,即为一个全程,70千米。
所以来回总计用时  70÷5+70÷7=24(小时)
返回用时:24-10.5=13.5(小时)
7、 答:14
解:把全班学生分两类:
  一类:至少有一种班不参加(包括四个班都不参加的)
二类:四种班都参加的人。
要使四种班都参加人最少,则至少有一种班不参加人最多,由此可知,不参加美术班,不参加体操班,不参加游泳班,不参加奥数班的学生不能重叠。
所以:四种班都参加的人=全班人数-至少有一种班不参加的人。
即:42-(42-39)-(42-34)-(42-30)-(42-37)=14(人)
8、答:45,4
   解:400÷9=44……4
这个数可表示为: 

二、解答题(每题10分,共40分,要求写出解题过程)
9、解:(1)当队首相齐时,快队超过慢队,比慢队多行距离是一个快队伍的队长:
即:一班队长(快队):(60-50)×6=60(米)…………………………………..(3分)
(2)当队尾相齐,快队超过慢队,要比慢队多行的距离正好是一个慢队的队伍长。
即:二班队长(慢队):(60-50)×5=50米。…………………………………….(3分)
(3)又因为每列队伍中前后两人都相距1米
所以:一班有人数:60+1=61(人)。………………………………………………..(2分)
二班有人数:50+1=51(人)。…………………………………………………..(2分)
10、解:仔细观察,可以发现:阴影部分是3个相同的小正方形,其边长是长方形的长与宽的差。
而从AB这条线段可以看出5条长=3条长+3条宽,可见3条宽=2条长….……(3分)
根据宽12厘米,可推算出长是(18×3÷2)=27厘米。…………………………(3分)
  ∴  (平方厘米)。…………………………………………….(4分)
11、答:16
解:在这五种水果中任取两个,有以下几种情况:
(1)苹果、苹果   (2)香蕉、香蕉      (3)梨、梨       (4)桔子、桔子
(5)桃、桃       (6)苹果、香蕉      (7)苹果、梨     (8)苹果、桔子
(9)苹果、桃     (10)香蕉、梨       (11)香蕉、桔子  (12)香蕉、桃
(13)梨、桔子    (14)梨、桃         (15)桔子、桃
 共15种。…………………………………………………………..…………………… (5分)
作最不利打算,这十五种情况有十五个同学来拿,这样,已经有15个同学了,若再来一个同学,无论他选哪种拿法,也只能是这十五种的任意一种,即:会和前15个人之中的一个人的拿法相同。
即:最少需要16个同学才能保证至少有2人选的水果完全相同。……………………(5分)

12、答:10、5、6
解:蜻蜓和苍蝇都有六只脚,可把它们看作一种动物,先求蜘蛛的只数,再根据翅膀对数和蜻蜓、苍蝇的只数,求他们各有只数。
蜘蛛:(146-6×21)÷(8-6)=10(只)。………………………………………...(3分)
蜻蜓和苍蝇共有:21-10=11(只)。…………………………………………………..(2分)
蜻蜓:(16-11×1)÷(2-1)=5(只)。………………………………………………(3分)
苍蝇:11-5=6(只)。………………………………………………………………..(2分)
评分参考:见解答过程,有答案没有过程,只给4分。 

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