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第4讲数的整除性（一）

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第4讲数的整除性（一）(四年级上册人教课标版)

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　　我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
　　数的整除具有如下性质：
性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
　　利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：
　　（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

　　（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
　　（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
　　（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
　　（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
　　（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
　　其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
　　因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。
　　类似地可以证明（5）。
　　（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
　　837＝800＋30＋7
　　＝8×100＋3×10＋7
　　＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7
　　＝8×99＋8＋3×9＋3＋7
　　＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
　　因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。
　　利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：
　　（4＇）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
　　（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
　　（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？
　　234，789，7756，8865，3728，8064。
解：能被4整除的数有7756，3728，8064；
　　能被8整除的数有3728，8064；
　　能被9整除的数有234，8865，8064。
例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？
　　解：如果56□2能被9整除，那么
　　5＋6＋□＋2＝13＋□
　　应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；
　　如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；
　　如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
　　到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。
例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。
例4 五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？
分析与解：已知能被72整除。因为72＝8×9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B＝6。再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为
　　A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
　　因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。
　　解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。
例5 六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？
分析与解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。再由六位数能被3整除，推知
　　3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B
　　能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9这4个值。由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）。
例6 要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？
　　分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。
　　要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数的各位数字之和为12＋B＋C。它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B＝1，C＝5。
　　当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156÷36＝4171。

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