小学奥数36个经典讲座总汇（上）


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小学三年级奥数
第1讲 多位数的运算
 
多位数的运算，涉及利用 ＝10k-1，提出公因数，递推等方法求解问题．

 
    一、 ＝10k-1的运用
    在多位数运算中，我们往往运用 ＝10k-1来转化问题；
    如： ×59049
    我们把 转化为 ÷3，
    于是原式为 ×59049=（ ÷3）×59049= ×59049=（ -1）×19683=19683× -19683
    而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；
     +1
     如： ，于是为 ．

  
 
 
简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数．
原式= ×2×3×3× 
= ×2×3× 
= ×（ -1）
= × - 
= ,于是为 .

 
2．计算 － =A×A，求A．
   【分析与解】  此题的显著特征是式子都含有 ，从而找出突破口.
    － =  － 
                   = ×（ -1）
                   = ×（ ）
                   = ×（ ×3×3）=A2
     所以，A＝ .

 
    3．计算 × ×25的乘积数字和是多少?
   【分析与解】我们还是利用 = 来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成 ，于是我们就创造条件使用：
 × ×25=[ ×（ ）]×[ ×（ ）+1]×25
=[ ×（ ）]×[ ×（ ）+1]×25
= × ×[2× -2]×[2×（ ）+1]×25
= ×[4× -2× -2]
= × - × 
=100× -50× 
= (求差过程详见评注)
= 
所以原式的乘积为 
那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024．
评注：对于 的计算，我们再详细的说一说．
 
= 
= 
= 
= 

 
4．计算 的积?
【分析与解】  我们先还是同上例来凑成 ；
 
＝ 
＝ 
＝ 
＝ 
＝ (求差过程详见评注)
    我们知道 能被9整除，商为：049382716．
    又知1997个4，9个数一组，共221组，还剩下8个4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为45，可以被9整除．
     能被9整除，商为04938271595；
    我们知道 能被9整除，商为：061728395；
    这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可以被9整除．
     能被9整除，商为0617284．
     于是，最终的商为：
      
评注：对于 - 计算，我们再详细的说一说．
     - 
＝ +1- 
＝ +1
＝ .

    二、提出公因式
有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等．

 
5.计算：（1998+19981998+199819981998+… ）÷（1999+19991999+199919991999… ）×1999
【分析与解】 ＝1998× 
原式＝1998（1+10001+100010001+… ）÷［1999×（1+10001+100010001+… ）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.

 
    6．试求1993×123×999999乘积的数字和为多少?
    【分析与解】  我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是1993×123还是有点繁琐．
设1993×123=M，则(1000×123＝)123000令M＝ 
则M×999999＝M×（1000000-1）＝1000000M-M
＝ - 
＝ +1－ 
＝ +1
＝ 
    那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f+1)=9×6=54．
    所以原式的计算结果的数字和为54．
评注：M× 的数字和为9×k．(其中M的位数为x，且x≤k)．

  
  7．试求9×99×9999×99999999×…× × × 乘积的数字和为多少?
    【分析与解】  通过上题的计算，由上题评注：
设9×99×9999×99999999×…× × × ＝M， 
于是M× 类似 的情况，于是，确定好M的位数即可；
注意到9×99×9999×99999999×…× × ＝M，
则M<10×100×100013×100000000×…× × ＝ 
    其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023；
    即M< ，即M最多为1023位数，所以满足 的使用条件，那么M与 乘积的数字和为1024×9=10240—1024=9216．
原式的乘积数字和为9216．

    三、递推法的运用
有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法．

 
    8．我们定义完全平方数A2=A×A，即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?
【分析与解】  我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：
121＝112；12321＝1112；1234321＝11112……
于是，我们归纳为1234…n…4321=（ ）2
     所以，1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积为7777777的平方．
评注：以上归纳的公式1234…n…4321＝（ ）2，只有在n<10时成立．

 
9.① =A2，求A为多少?
     ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？
    【分析与解】  方法一：问题①直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：
    ①注意到有 可以看成 ，其中n＝2004；
    寻找规律：当n=1时，有49=72；
    当n=2时，有4489=672；
当n=3时，有444889=6672；
  ……     ……
   于是，类推有 = 
   方法二：下面给出严格计算：
    = + +1；
   则 + +1＝ ×（4× +8）+1
＝ ×［4×（ +1）+8］+1
＝ ×［4×（ ）+12］+1
＝（ ）2×36+12× +1
＝（ ）2×62+2×（6× ）+1
＝（ ）2
     ②由①知 ＝ ，于是数字和为(4n+8n一8+9)=12n+1=2005；
于是，n=167，所以 = ，所以存在，并且为 .

   
10．计算 ×9× 的乘积是多少?
   【分析与解】采用递推的方法6×9×3=162；
                          66×9×33=19602；
                      666×9×333=1996002；
                        ……    ……
    于是，猜想 ×9× =  
                ×9× =  
评注：我们与题l对比，发现题1为 ×9×3× 使用递推的方法就有障碍, =10k—l这种方法适用面要广泛一点．
    练习1．设N= ×9× ，则N的各位数字之和为多少?
    练习2．乘积 × 的积是多少?各位数字之和又是多少?
练习3．试求 × 的各位数字之和是多少?



















第2讲 计算综合（一）

 
    繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．
    1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：
 
    甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．
    2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．
    3．某些时候将分数线视为除号，可使繁�

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