六年级上山、下山的行程问题


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试题
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所谓上山、下山的行程问题区别于通常的行程问题之处就在于在整个行程过程中速度会发生变化。下面通过几个问题介绍此类问题的解决思路。
问题 从甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一辆汽车上坡速度为每小时20千米，下坡速度为每小时35千米。车从甲地到乙地共用9小时，从乙地返回到甲地共用7.5小时。求去时上坡路和下坡路分别为多少千米？
　　先画出如右图形：图中A表示甲地，C表示乙地。从A到B是上坡路，从B到C是下坡路；反过来，从C到B就是上坡路，从B到A是下坡路。
 
　　由于从甲地到乙地用9小时，反过来从乙地到甲地用7.5小时，这说明从A到B的距离大于从B到C的距离。本题的难点在于上下坡不仅速度不同，而且距离不同，因此自然的思路是设法把上下坡的距离变不同为相同。
　　在从A到B的路程中取一个点D，使得从D到B的距离等于从B到C的距离，这样A到D的距离就是AB距离比BC距离多出来的部分。
　　下面我们分析为什么去时比回来时间会多用了：9-7.5＝1.5（时）
　　从图中容易看出就是因为去时从A到D是上坡，而回来时从D到A变成了下坡，其它路途所用的总时间是一样的。
　　现在的问题是AD这段路程中速度由每小时20千米改为35千米，则时间少用1.5小时，由此可以求出什么？
　　如果设速度为每小时20千米所用时间为单位“1”，那么速度为每小时35千米所用时间为：
　　 
　　由此就可以求出AD之间的距离为：
　　20×3.5＝70（千米）
　　或 35×2＝70（千米）
　　还可以求出从D到C和从C到D所用时间均为：9－3.5＝5.5（时）
　　或 7.5－2＝5.5（时）
　　至此我们已经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了。如果设从D到
 
上坡所用时间为：
 
　　 
　　所以去时上坡的总路程就是：
　　70+20×3.5=140（千米）
　　下坡总路程是：35×2=70（千米）
　　上面所用方法实质上是通过“截长变短”把上下坡的距离“变不同为相同”，而实现这一目的还可以通过“补”的方法。
　　将返回的路程补在去时路程的后面，画出右图：
 
　　这时全程去与回所用的时间都是：
　　9＋7.5＝16.5（时）
　　而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原来上下坡距离之和。设
 为：
 
　　 
　　所以原来上下坡距离之和就是：
　　20×10.5=210（千米）
　　或 35×6＝210（千米）
　　下面采用解决“鸡兔同笼”问题的方法，假设原来从A到C速度不变，都是每小时35千米，这样9小时所行路程应该为：
　　35×9＝180（千米）
　　比实际距离少行了：
　　210－180＝30（千米）
　　就是因为从B到C的下坡速度每小时20千米变成了35千米，因此从B到C的时间为：
　　30÷（35－20）＝2（时）
　　从A到B上坡的时间为：9－2=7（时）
　　由此上下坡的距离就不难求出了。
　　这个解法的思路是通过“补”，不仅使得上下坡距离相等，而且使得往返所用的时间相等。
　　解决本题的两个方法说明，在“变不同为相同”这个基本思想的指导下，手段可以是多种多样的。
　　下面再看一道类似的问题。
问题 如右图，从A到B是下坡路，从B到C是平路，从C到D是上坡路。小张和小王步行速度分别都是：上坡每小时4千米，平路每小时5千米，下坡每小时6千米。二人分别从A、D两点同时
 
王到达A后9分钟，小张到达D。求从A到D的全程距离。
 
　　首先发现二人平路上行走的距离相同，小张比小王多用9分钟的原因就是CD距离大于AB距离。
　　我们仿照上题思路，在CD上取一点F，使得CF距离等于AB距离，并画出如右图形：设从D到F下坡所用时间为“1”，则从F到D上坡所用时间为：
　 
 
　　 　
 
　　  
到F所用时间18分钟，因此可以求出平路的距离为：
 
　　 
　　以上两个问题的共同之处在于将上下坡的不同距离变为相同，完成这种变化的基础问题是：已知同一段路程的两个不同速度和相差的时间，如何求出这段行程的时间和路程。

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