小学数学趣题巧算百题百讲百练--几何部分


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小学生学习几何初步知识，不仅要掌握一些基本的平面图形和立体图形的性质、特征，还要会求这些平面图形的周长、面积及这些立体图形的表面积、体积，而且还要会综合地、巧妙地运用这些知识来进行计算。特别是计算一些组合图形的面积时，常常用到割补、剪拼、平移、翻转等办法，使得计算巧妙、简便。要学会这些方法，应用这些方法。通过解几何题的训练，更好地培养空间想象力，这对学好小学几何初步知识是极有利的，同时也为将来到中学进一步学习几何知识，打下良好而坚实的基础。
　　例21 下图中圆O的面积和长方形OABC的面积相等。已知圆O的周长是9.42厘米，那么长方形OABC的周长是多少厘米？
 
　　分析与解 题中告诉我们，圆O的面积和长方形OABC的面积相等。我们知道，圆的面积等于π•r•r，而图中圆O的半径恰好是长方形的宽，因此长方形OABC的长正好是π•r，即圆O的周长的一半。而长方形的周长等于2个长与2个宽的和，也就是圆O的周长与直径的和。
　　长方形OABC的周长是：
　　9.42+9.42÷3.14
　　=9.42+3
　　=12.42（厘米）
　　答：长方形OABC的周长是12.42厘米。
　　例22 桌面上有一条长80厘米的线段，另外有直径为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的圆形纸片若干张，现在用这些纸片将桌上线段盖住，并且使所用纸片圆周长总和最短，问这个周长总和是多少厘米？
　　分析与解 要想盖住桌上线段，并且使所用纸片圆周长总和最短，那么盖住线段的圆形纸片应该是互不重叠，一个挨一个地排开，这时若干个圆形纸片直径的总和正好是80厘米。这些圆形纸片周长的总和与直径为80厘米的圆的周长相等，因此盖住桌子上线段的若干个圆形纸片的周长总和是：
　　3.14×80=251.2（厘米）
　　答：这个周长总和是251.2厘米。
　　例23 图2为三个同心圆形的跑道，跑道宽1米。某人沿每条圆形跑道的中间（虚线所示）各跑了1圈，共3圈。他一共跑了多少米？
 
　　分析与解 根据题意，要求某人一共跑了多少米，就是求半径分别为1.5米、2.5米和3.5米的三个圆的周长之和。列式为
　　3.14×（1.5×2）+3.14×（2.5×2）+3.14×（3.5×2）
　　＝3.14×3+3.14×5+3.14×7
　　=3.14×（3+5+7）
　　=3.14×15
　　=47.1（米）
　　还可以这样思考：
　　如果这个人拿着一个1米宽的拖把，边跑边拖地，他跑了1个圆圈，就把这一圈的跑道全拖干净。那么他跑了3个圆圈，就把这三条圆形跑道全拖干净了。他共拖了3个环形面积的地。这3个环形面积的总和是
　　3.14×（42-32）+3.14×（32-22）+3.14×（22-12）
　　=3.14×（42-32+32-22+22-12）
　　=3.14×（42-12）
　　=3.14-[（4+1）×（4-1）]
　　=3.14×15
　　=47.1（平方米）
　　当然，也可以直接列式：3.14×（42-12）=47.1（平方米）
　　因为跑道宽1米，这个人拖完47.1平方米，那么他就前进了47.1米。
　　答：一共跑了47.1米。
　　这里列举的只是某人跑了3个圆形跑道。如果将题改为跑100个这样的圆形跑道，那么用后面介绍的解法计算他跑步的总长度，就简捷多了。
　　解法如下：
　　3.14×（1012-12）
　　=3.14×（101+1）×（101-1）
　　=3.14×102×100
　　=32028（平方米）
　　因为跑道宽1米，所以共跑了32028米。
　　例24 在面积是40平方厘米的正方形中，有一个最大的圆（如图3）。这个圆的面积是多少平方厘米？
 
　　分析与解 要求圆的面积，就要先求出圆的半径。题中告诉我们，正方形的面积是40平方厘米，正方形的边长的一半，也就是图中圆的半径。对小学生来讲，从正方形的面积求正方形的边长，还不会直接计算。
　　可以这样思考：
　　把正方形平均分成4份（如图4）。每个小正方形的面积是40÷4=10平方厘米。小正方形的边长恰好是圆的半径，因此圆的半径的平方恰好是10平方厘米。这样就可以求出圆的面积是3.14×10=31.4平方厘米了。
 
　　答：图中圆面积是31.4平方厘米。
　　例25 图5由正方形ABCD和长方形EFDG部分重叠而成。正方形的边长是247.8厘米；长方形的长是292.404厘米、宽是210厘米，正方形和长方形哪个面积大？
 
　　分析与解 要比较正方形ABCD和长方形EFDG面积的大小，方法是分别算出它们的面积再进行比较。从题中给出的数据看，确实给计算带来麻烦。
　　只要在AF两点间连一条线段（如图6），就会发现，三角形 AFD的面积是正方形 ABCD面积的一半，同时也是长方形EFDG面积的一半，所以正方形ABCD和长方形EFDG的面积一样大。这样，也就不用计算这两个图形的面积了。
　　例26 图7由半圆和等腰直角三角形重叠而成。已知等腰直角三角形的直角边长为4厘米，求图中阴影面积。
 
　　分析与解 如果分别算出两个阴影部分的面积，再把它们加起来，以便求出图中阴影部分的总面积，那就太复杂了。
　　根据题中的条件，我们可以把图中弓形阴影剪下来拼（或旋转）成图8。
　　从图8不难看出，题中要求的阴影部分的面积就是三角形 ABC面积的一半。
　　图中的阴影面积是：
　　（4×4÷2）÷2=4（平方厘米）
　　答：图中阴影面积是4平方厘米。
　　例27 有5个正方形（如图9），边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。问图中白色部分面积与阴影部分面积的比是几比几？
 
　　分析与解 观察已知图形，显然，先计算出白色面积比较简单。
　　白色部分面积是：（22-12）+（42-32）=10（平方米）
　　阴影部分面积是：52-10=15（平方米）
　　因此，白色部分面积与阴影部分面积之比是：10∶15，即2∶3。
　　还可以这样想：作正方形的对角线AD和BC，两条对角线相交于O，于是两条对角线把正方形平均分成四部分（如图10）。
　　要计算整个图形中白色部分面积与阴影部分面积的比，只需计算三角形AOB中白色部分面积与阴影部分面积的比就可以了。在三角形AOB中，可把白色的和阴影的两部分图形都看作是一些梯形，其中把最上端的小阴影三角形看作是上底为O的梯形。这些梯形的高都相等，所以这些梯形面积之比就是这些梯形上、下底的和之比。
　　从小到大，5个梯形面积比是：
　　1∶（1+2）∶（2+3）
　　∶（3+4）∶（4+5）=1∶3∶5∶7∶9
　　因此，图中白色部分面积与阴影部分面积的比是：（3+7）∶（1+5+9）=2∶3
 
　　答：图中白色部分面积与阴影部分面积比是2∶3。
　　例28 有一个直角梯形ABCD，已知AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形ABF的面积比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，那么ED长多少厘米？
 
　　分析与解 连接DB（图12）。已知三角形ABF比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，所以三角形ABD比三角形BED的面积也大17.4平方厘米。
　 
　　三角形BDE的面积是：24-17.4=6.6（平方厘米）。而三角形 BDE的面积等于ED×BC×1/2
　　即ED×6×1/2=6.6
　　所以ED长是2.2厘米。
　　答：ED的长是2.2厘米。
　　例29 图13由4个正六边形拼成，每个正六边形的面积都是6，那么三角形ABC的面积是多少？
 
　　分析与解 首先连接每个正六边形的对角线，将每个六边形平均分成六个小的正三角形（如图14），那么每一个小三角形的面积都是1。
　　由图14不难看出：三角形ABC是由三角形DEF、三角形AEB、三角形BDC和三角形CFA组成的，其中三角形DEF的面积是4，而其它的三个三角形面积都相等。
　　先看三角形ABE。它正好是平行四边形AGBE的一半，而平行四边形AGBE的面积是6，因此，三角形ABE的面积是3。当然，三角形BDC和三角形CFA的面积也是3。
　　由此得出三角形ABC的面积是
　　4+3×3=13
　　答：三角形ABC的面积是13。
　　例30 已知图15中正方形ABCD的面积是256平方厘米，那么正方形EFGH的面积是多少平方厘米？
 
　　分析与解 将图15中正方形A0′B′C′D′旋转成图16。由图中不难看出：正方形 A′ B′C′D′的面积是正方形ABCD面积的1/2；正方形EFGH的面积是正方形A′B′C′D′的面积的1/2。因此，正方形
　　 
　　已知正方形ABCD的面积是256平方厘米，所以正方形EFGH的面积是 
　　答：正方形EFGH的面积是64平方厘米。
　　例31 图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中，AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2，中间小正方形 EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？
 
　　
　　分析与解 连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在DPC处（如图18和图19）。
　 
　　已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。
　　又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。由此得出，正方形OCPD的边长是4+6=10厘米，当然正方形OCPD的面积就是102，即100平方厘米。而正方形OCPD的面积恰好是正方形ABCD的面积的一半，因此正方形ABCD的面积是200平方厘米。
　　答：正方形ABCD的面积是200平方厘米。
　　例32 一个任意凸六边形ABCDEF，P、Q、M、N分别为AB、BC、DE和EF边上的中点。已知阴影部分的面积是100平方厘米，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？
 
　　分析与解 连接BF、 BE、 BD，在三角形ABF中，P是AB的中点，那么三角形BPF和三角形APF是等底等高的三角形。因此三角形BPF和三角形APF的面积相等。
　　同理，由于N为EF中点，所以三角形FNB和三角形 ENB的面积相等；由于M为DE中点，所以三角形DMB和三角形EMB的面积相等；由于Q为BC中点，所以三角形BQD和三角形CQD的面积相等。
　　由此得出：三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB。
　　而三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=阴影面积=100平方厘米，所以三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB=空白部分面积=100平方厘米。
　　因此，六边形 ABCDEF的面积为100×2=200平方厘米。
　　答：六边形ABCDEF的面积是200平方厘米。
　　例33 �

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