裂项法（一）


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试题
名称		裂项法（一）(三年级下册 人教课标版)
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同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。

（一）阅读思考
    例如 ，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
     
    即 
    或 
    下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】
  例1. 计算： 
 
    分析与解答：
     
     
    上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
     
     
    像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

  例2. 计算： 
    公式的变式
     
    当 分别取1，2，3，……，100时，就有
     
     
     

  例3. 设符号（    ）、<    >代表不同的自然数，问算式 中这两个符号所代表的数的数的积是多少？
    分析与解：减法是加法的逆运算， 就变成 ，与前面提到的等式 相联系，便可找到一组解，即 
    另外一种方法
    设 都是自然数，且 ，当 时，利用上面的变加为减的想法，得算式 。
    这里 是个单位分数，所以 一定大于零，假定 ，则 ，代入上式得 ，即 。
    又因为 是自然数，所以 一定能整除 ，即 是 的约数，有 个 就有 个 ，这一来我们便得到一个比 更广泛的等式，即当 ， ， 是 的约数时，一定有 ，即
     
    上面指出当 ， ， 是 的约数时，一定有 ，这里 ，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
    当 时， ， 
    当 时， ， 
    当 时， ， 
    当 时， ， 
    当 时， ， 
    当 时， ， 
    当 时， ， 
    当 时， ， 
    当 时， ， 
    故（    ）和<    >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）
二.尝试体验：
  1. 计算：
     
  2. 计算： 
  3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求 。
请做完之后再看答案！
 
【试题答案】
1. 计算：
     
     
  2. 计算： 
     
  3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求 。
     的值为：75，81，96，121，147，200，361。
    因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有 
     
     
     
     
    还有别的解法。 

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